Szöveges feladat. Ki fog derülni, hogy a példa mögött valójában másodfokú egyenlet rejlik. Maga az egyenlet nem nehéz. Ami a nehéz, az az, hogy a szöveges példa egyes fogalmait hogyan érdemes „lefordítani” az egyenletek „nyelvére”. Valójában nemcsak egy, hanem két olyan pont is van, ami kifejezetten nehéz.

 

Maga a példa:

 

„Egy tanuló két számot szorzott össze. A két szám közül az egyik 10-zel nagyobb volt, mint a másik. A tanuló szorzásnál hibázott, mert a szorzatban a tízesek száma 4-gyel kevesebb lett. A szorzás ellenőrzésekor a kisebbik tényezővel való osztásnál hányadosul 39-et, maradékul 22-t kapott. Milyen számokat szorzott össze a tanuló?”

 

Itt elég sok dolog szerepel, könnyű eltévedni közöttük. Először nézzük azt, ami még a legvilágosabb: a helyes szorzatot.

• A második (kisebbik) tényező: x
• Az első (a másodiknál 10-zel nagyobb) tényező: x + 10
• Maga a helyes szorzat:

 

Most jön az első olyan pont, amit könnyű eltéveszteni. A feladat azt írja, hogy a tanuló elrontotta a szorzást. Én ezt úgy értettem, hogy a tanuló kihozott valamilyen számot, de ez a kihozott szám a helyes értéknél 40-nel kisebb:

• A kihozott szám, ami a helyes szorzatnál 40-nel kisebb:

 

Úgy lehetne tömören egy jelöléssel összefoglalni a lényeget, hogy az értelmezéseim láncolata valahogy így épül egymásra:

 

 

Szóval mostanra immár az alábbi fogalmakat sikerült „lefordítanunk” az algebra „nyelvére”:

• A második, kisebbik szám: x
• Az első (a másodiknál 10-zel nagyobb szám): x + 10
• A helyes szorzat: 
• A hibás számítás: 

 

Most jön a második olyan pont, ami nehéz, nemcsak elrontani könnyű, de fogalmilag sem könnyű:

 

„A szorzás ellenőrzésekor a kisebbik tényezővel való osztásnál hányadosul 39-et, maradékul 22-t kapott”

 

Az egyes fogalmak „lefordítását” is könnyű eltéveszteni

• A kisebbik tényező: x
• A szorzás ellenőrzése: a tanuló a hibásan kihozott eredményt maradékosan osztani, ez pedig most a számunkra azt jelenti, hogy  a  kifejezést lehet valami olyan alakba átírni, amiből már közvetlenül látszik, hogy x megvan benne 39.szer, és marad 22.

 

Ez az utolsó mondat önmagában is nehéz, de még nehezebbé teszi az, hogy már maga a maradékos osztás sem könnyű fogalom (önmagában sem könnyű, nemhogy szöveges példával). Ezért nézzünk meg néhány egyszerűbb példát a maradékos osztásra:

 

9-et maradékosan osztva 4-gyel, hányadosul 2-t kapunk, a maradék pedig 1.

 

Ez mit is jelent? Hát azt, hogy a 9-et felírhatom úgy is, hogy . A maradéktól, az 1-estől nem lehet „megszabadulni”, mert az 1-ben már sehányszor sincs meg a 4 (nem is lehet, hiszen 1 kisebb 4-nél).

 

Ezt már leírhatjuk az egyenletek, egyenlőségek nyelvén:

 

  ahol 

 

Úgy is lehet gondolni a maradékos osztásra, mint egy gépre, kávéautomatára, gyári szerelőszalagra. Bedobok valamit, kijön valami. Csak az a különbség ezektől a gépektől, hogy ebbe az „automatába” nem egy „érmét” dobok be, hanem két nyílás van egyszerre két érmének, és kifelé is két dolog jön ki belőle. A maradékos osztás olyan „gép”, amelybe beledobok két számot (az osztandót és az osztót), a gép pedig válaszul kiad szintén két számot: a hányadost és a maradékot.

 

Itt most az a legfontosabb, hogy a gép működését akár egyenletekkel is leírhatjuk:

• Bemenet: osztandó, osztó (az osztó nem lehet nulla)
• Kimenet: hányados, maradék
• Működés: a gép mindig aszerint  „választja hozzá” a megadott osztandóhoz és osztóhoz a végül kiadandó hányadost és maradékot, hogy az alábbi egyenlet teljesüljön:

 

 

ahol egyúttal annak is is teljesülnie kell, hogy

 

Például: azt azt adom be a gépnek, hogy 9 és 4 (osztandó és osztó szereposztásban), erre a gép kisakkozza a   követelmény alapján a választ: 2 és 1 (hányados és maradék szereperosztásban).

 

Most már visszatérhetünk a feladathoz. Itt is hasonló dogot jelent a maradékos osztás, bár további nehézséget jelent, hogy itt nem konkrét számok, hanem x-változós kifejezések szerepelnek., Maguk az egyenletek, követelmények azonban hasonló logikájúak lesznek.

 

Tehát a feladat idevonatkozó része az volt, hogy

 

„A szorzás ellenőrzésekor a kisebbik tényezővel való osztásnál hányadosul 39-et, maradékul 22-t kapott”

 

Ezt most fordítsuk le az egyenletek nyelvére, ugyanazzal a logikával, ahogy a 9 esetén tettük:

 

   ahol 

 

Most már nincs más dolgunk, mint visszaemlékezni arra, hogy mi is volt a „fordítása” maguknak az egyes említett fogalmaknak (mármint ezeknek, mint „ellenőrzendő számítás”, „kisebbik tényező”):

• A kisebbik tényező: x (egyébként a nagyobbik meg x + 10 volt);
• az ellenőrzött (egyébként hibás) számítás:   (hiszen maga a helyes szorzat meg  éppen   volt, a tanuló lefelé tévedett négy tizedessel, vagyis 40-nel).

Ez alapján a  „szótár” alapján már végre teljesen lefordíthatjuk a feladatot az egyenletek nyelvére. A fordítás folyamatát így mutathatnám be:

 

 

Most már végre sikerült teljesen „lefordítanunk” a szöveges példát az algebra (egyenletek) „nyelvére”:

 

  ahol még pluszban a   megkötésnek is teljesülne kell.

 

Ez már egy sima másodfokú egyenlet, a megoldásával már nem lesznek váratlan nehézségek:

 

felbontva:

0-ra rendezve:

 

Ezt már akár közvetlenül a megoldóképletbe való behelyettesítéssel is meg lehet oldani. Aki nem szereti a megoldóképletet, az megpróbálkozhat a Viète formulák révén is megsejteni a megoldásokat. Ez nem mindig sikerül, de ha igen, akkor sokkal mulatságosabb, mint a megoldóképlet:

 

Viète formulák:

 

Mivel ezek a számok szerencsénkre igen egyszerű alakúak, ezért rövid próbálkozás után meg lehet sejteni a megoldásokat:

 

 

Akárhogy is oldottuk meg (akár a megoldóképlettel, akár a Viète formulákkal), a végül kapott megoldásokat kíváncsiságból ellenőrizhetjük a Wolfram Alpha-val is: szerinte is épp ezek a megoldások vannak.

 

Az megoldás azonban nem teljesíti a pluszban megkövetelt

megkötést, ezért ezt a megoldást kizárjuk.

 

Még egy dolog van hátra: visszaemlékezni arra, hogy tulajdonképpen milyen fogalmat is jelöltünk x-szel még a feladat megoldása legelején. Hát az x-et annak a fogalomnak a jelölésére vezettük be, hogy „a tanuló által összeszorozni kívánt két szám közül a kisebbik”. A másik (nagyobbik) számnak az x + 10 felelt meg.

 

Tehát: a tanuló által összeszorozni kívánt két szám közül a kisebbik: 31, a nagyobbik meg 41. Ez teljesen életszerű is, a korrektségét pedig ellenőrizzük közvetlen számolással is! Wolfram Alpha szerint is rendben van:

 

 

vagyis teljesül éppen az, amit maga a feladat szövege írt: a nagyobbik és a kisebbik számot összeszorozva (41, 31), és az eredményt négy tizedessel (40-nel) alábecsülve, az így kapott (hibás) eredmény valóban a kisebbik számmal (a 31-gyel) való maradékos osztásra  valóban épp az említett hányadost és maradékot adja (39 és 22).

 

A móka kedvéért ellenőrizzük az egyébként kizárt másik „megoldás”,  „forgatókönyvét” is: a tanuló által összeszorozni kívánt két szám közül a kisebbik: 31, a nagyobbik meg 41. Bár a

 

 

egyenlet valóban teljesül, de a 22 nem értelmezhető úgy, mint a (-2)-vel való osztásra keletkező maradék: kettővel vagy mínusz kettővel való maradékos osztásra csak 0 vagy 1 maradékot kaphatunk (a maradéknak mindig kisebbnek kell lennie, mint az osztó abszolútértéke). Éppen erről szólt mindvégig a levezetés során az a megkötés.